初中无理方程题目，数学无理方程题目及答案？

投稿用户 • 2023年4月6日 pm7:30 • 初中教育 • 阅读 391

无理方程（初中阶段只研究二次根式）这部分的重点有三个：一是无理方程的概念；二是解法，主要是运用“化归的数学思想”将它化为有理方程，基本方法是“两边平方”，这一步不是同解变换，所以必须验根，有时还用”换元法”和其他一些技巧；三是对无理方程的根与增根的认识和处理。

下列关于z的方程中:①一*②（丿戸―3）2-625 = 0,③

=7,④X—物戸=1,属于无理方程的是

解属于无理方程的是①②④.

第②和第④小题有同学可能觉得化简后不是无理方程，这里要注意的是：判断一个方程是否是无理方程，不能先进行化简，因为化简前后不一定是同解方程.

讲评判断一个方程是否是无理方程，只看形式上是否同时符合无理方程定义中的两个条件：①含根式；②被开方数中含有未知数.

下列无理方程中，有实数解的是 .

①>/2j+12 = — 1 ； ② \/2 — x= —jc；

③ \/2 — x + -Ji—2 = 1 ； ④ y/2—x +』了_ 2 = 0 ；

⑤（>+5）² + \/7.1 — 5 =0； ⑥ J2—z +』了 — 3 = 1.

解第①小题.方程左边大于等于0,而右边小于0,所以无解.

第②小题，两边平方可求得方程的根为工=一2.

第③小题.解无理方程是在实数范围内进行，故要使二次根式有意义，须2 —了 20且工一22。，工只能等于2,因而方程左边等于0,而右边等于1,两边不等.所以无解.

第④小题.同第③小题，要使根式有意义，z只能等于2,而当了 = 2时，方程左右两边相等，因而方程有解工=2，=旦第⑤小题，根据实数的非负性，可求得万’»=_5.

第⑥小题，同第③小题，要使二次根式有意义，有2 —工20且土一3N0,即工＜2且_rN3,无解.

所以，有实数解的是②④⑤.

讲评如果可以直接判断一个无理方程无解，就不需要进入具体解方程的程序：、\ 这个很重要.判断一个无理方程无解的方法主要是借助两个实数的非负性，即（二次）根式的被开方数非负（内非负），如⑥；二次根式的值非负（外非负），如①.③用到了内I非负，但也用到了别的原则.

解下列关于，的无理方程:

（1 ） Jz 十2 = —J7 :

（2） /工_2 • Zr-l=O.

解（1）两边平方，整理得工2 —z-2 = 0, 解得工1 =2,j-₂ = —1.

经检验.心=2是原方程的增根，舍去. 所以，原方程的根是工=一1;

（2）两边平方，整理得（工一1）&一2）=0, .r — 2 = 0 或 x一 1=0,

解得 Z1 = 2 , JTz = 1.

经检验，，2 = 1是原方程的增根，舍去. 所以，原方程的根是£ = 2.

讲评（1）解无理方程的基本思想和步骤：

解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程.解无理方程最基本的方法是“两边平方”法.后面将要提到的换元法、观察法等。实际上最后都离不开“两边平方

“两边平方”法一般步骤：

①两边平方，把原方程化为有理方程；

②解这个有理方程；

③验根并作答：将解得的根代入原无理方程检验.

（2）验根问题：

无理方程的验根和分式方程不同验根时不但要将它代入根式内，检验被开方式是否非负；还要代入整个方程，检验它是否适合等式.例如此例的第（1）小题口 = 2代入根式是有意义的.但代入方程，两边不相等，所以还是增根.

（3）分式方程和无理方程的异同：

(2)移项，得』2工—4 = 1十/r + 5 , V

两边平方，整理得£ — 10 = 2 77+5, 再两边平方，整理得*2 —24$ + 80 = 0, 解得 x| =20口2 = 4.

经检验，央=4是原方程的增根，舍去. 所以，原方程的根是£=20.

(3)移项，得 a/3_z+4 = V^，2x—5 + J工_3 , V

两边平方，整理得• J7f=6, 再两边平方，整理得2*2 — 11了一21=0, 解得 Jr, =7,J₂ = —y.

经检验，以=一苏是原方程的增根，舍去. 所以，原方程的根是X=l.

说明：两个被开方数含有未知数根式，一般，通过移项，一边放一个解起来简便.

说明：这类三个被开方数含有未知数的无理方程，一般通过移项，使原方程化为一边含两个根号，另一边含一个根号即可两边平方.但本题有个特点：各个被开方数中的一次项3z、2z、_r有关系工+ 2工=3工，所以将卤二5从方程左边移到右边，解起来比较简便.

讲评解无理方程的基本方法是把方程两边同时平方，转化成有理方程，再求 :解.但对于略微复杂的无理方程需要先观察特征.根据方程的特征，适当整理后再两 ‘、、边平方.应注意合理搭配，以使平方后尽量简单。

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